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Use este identificador para citar ou linkar para este item: http://tede.ufam.edu.br/handle/tede/5888
Tipo do documento: Dissertação
Título: 27 retas na superfície cúbica
Autor: Ferreira, João Raimundo Silva 
Primeiro orientador: Logachev, Dmitry
Resumo: Nesta dissertação é apresentada a ideia da prova do teorema que em uma superfície cúbica não singular em P3 contem 27 retas. Também, são mostrados como estas retas se intersectam, quais planos formam, quais são sêxtuplos das retas que não se cruzam (sêxtuplos de Schlaefli) etc. Um exemplo explícito da superfície definida sobre Q tal que todas suas retas são definidas sobre Q é tratado. Finalmente, mostra-se que existe um isomorfismo entre uma superfície cúbica e um o plano inchado em 6 pontos. Isto é uma matéria clássica de pesquisa de século XIX, mas ela tem desenvolvimento até hoje. Como introdução, a dissertação contém a definição do espaço afim, espaço projetivo, seus subespaços, variedades Grassmannianas dos subespaços e especialmente a variedade G(2, 4) das retas em P3. Em seguida, a construção inicial de uma reta em P3 e P5 retas quais cruzam a ela é tratada. Mostra-se que existe uma e somente uma superfície cúbica que contem a estas 6 retas. Usando o teorema que 4 retas no espaço têm 2 retas secantes, é possível construir todas as 27 retas nesta superfície. Também, é achada sua matriz de intersecção. Isto nos dá soluções de vários problemas combinatórios relacionados com esta configuração das retas. Projeção da superfície de duas retas reversas permite mostrar que existe um isomorfismo entre a superfície e um o plano inchado em 6 pontos. Por sua vez, este isomorfismo permite obter mais facilmente a matriz da interseção das retas. Finalmente, cálculos explícitos para uma configuração simples das 6 retas são feitos. Como um resultado, obtemos uma superfície tal que todas suas 27 retas têm coordenadas racionais.
Abstract: In this dissertation we present the idea of proof of the theorem that on a non-singular cubic surface in P3 contains 27 straight lines. Also, they are shown as these lines intersect, Which planes form, which are sextuples of straight lines that do not intersect (Sextuplets of Schlaefli). An explicit example of the surface defined on Q such that all its lines are defined on Q is treated. Finally, it is shown that there is an isomorphism between a cubic surface and a 6-point swollen plane. This is a classic subject of nineteenth-century research, but it has development to this day. As an introduction, the dissertation contains the definition of the affine space, projective space, its subspaces, Grassmannian varieties of the subspaces and especially the G(2, 4) variety of the straight lines in P3. Then the initial construction of a straight line at P3 and P5 which cross it is treated. It is shown that there is one and only one cubic surface containing these 6 lines. Using the theorem that 4 straight in space have 2 secant lines, it is possible to construct all 27 straight lines on this surface. Also, its intersection matrix is found. This gives us solutions to various combinatorial problems related to this configuration of the lines. Projection of the surface of two straight lines allows to show that there is an isomorphism between the surface and a plane swollen in 6 points. In his turn, this isomorphism makes it easier to obtain the matrix of the intersection of the lines. Finally, explicit calculations for a simple configuration of the 6 straight lines are made. As a result, we obtain a surface such that all its 27 straight lines have rational coordinates.
Palavras-chave: Retas no espaço
Superfícies cúbicas
Variedades Grassmannianas
Inchamentos de superfícies
Área(s) do CNPq: CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA: MATEMÁTICA
Idioma: por
País: Brasil
Instituição: Universidade Federal do Amazonas
Sigla da instituição: UFAM
Departamento: Instituto de Ciências Exatas
Programa: Programa de Pós-graduação em Matemática
Citação: FERREIRA, João Raimundo Silva. 27 retas na superfície cúbica. 2017. 81 f. Dissertação (Mestrado em Matemática) - Universidade Federal do Amazonas, Manaus, 2017.
Tipo de acesso: Acesso Aberto
URI: http://tede.ufam.edu.br/handle/tede/5888
Data de defesa: 10-Jul-2017
Aparece nas coleções:Mestrado em Matemática

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